A Notations

Nous répertorions ici l’ensemble des notations classiques suffisamment courantes pour ne pas être explicitées au fil de l’eau.

\(\NN\) : ensemble des entiers naturels (\(0\) inclus)

\(\RR\) : ensemble des réels

\([\![a,b]\!]\) : \(\mathopen[a,b\mathclose] \cap \NN\)

\(E_+\), \(E_-\) ou \(E^*\) : \(E\) restreint à ses éléments positifs, négatifs ou non nuls

\(E^{n\times m}\) : ensemble des matrices à \(n\) lignes et \(m\) colonnes à coefficients dans \(E\)

\(M^T\) : transposée de \(M\)

\(\left|M\right|\) : déterminant de \(M\)

\(m_j\) : \(j^{\text{ème}}\) colonne de \(M\)

\(m_{i,j}\) : élément de \(M\) à l’intersection de la \(i^{\text{ème}}\) ligne et \(j^{\text{ème}}\) colonne

\(M_{-j}\) : matrice obtenue lorsqu’on retire à \(M\) sa \(j^{\text{ème}}\) colonne

\(\mathbf{I}_n\) : matrice identité de dimension \(n\)

\(\mathbf{1}_{n}\) : matrice colonne de taille \(n\) composée uniquement de \(1\)

\(\diag\left(x_1, \ldots, x_n \right)\) : matrice diagonale dont la diagonale est \(x_1, \ldots, x_n\) définie par \(\left(x_i\delta_{i,j}\right)_{i,j \in [\![ 1, n]\!]}\)

\(\|x\|_q\) : norme \(q \in \NN^*\) d’un vecteur définie par \(\left(\sum_{i=1}^n = |x_i|^q \right)^{\frac{1}{q}}\)

\(\|x\|_\infty\) : norme infinie d’un vecteur définie par \(\max\{|x_1|, \ldots, |x_n|\}\)

\(\langle x, y \rangle\) : produit scalaire entre \(x\) et \(y\)

\(x \vee y\) : maximum entre \(x\) et \(y\)

\(f^{(n)}\) : composée \(n\)-ième de \(f\) avec elle-même

\(\nabla^2 f\) : hessienne de \(f\) définie par \(\nabla^2 f:x\mapsto \left(\partial_i\partial_jf(x)\right)_{i,j} \in \RR^{n\times n}\)

\(\binom{n}{k}\) : coefficient binomial défini par \(\frac{n!}{k!(n-k!)}\)

\(\EE{X}\) : espérance de \(X\)

\(\VV{X}\) : variance de \(X\)

\(\CC{X,Y}\) : covariance entre \(X\) et \(Y\)

\(\unif{E}\) : loi uniforme sur \(E\)

\(\normal{\mu}{\sigma^2}\) : loi normale de moyenne \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\)

\(\mathcal{N}_{d}\left(\mu,\Sigma\right)\) : loi normale multidimensionnelle de moyenne \(\mu\) et de matrice de variance-covariance \(\Sigma\) en dimension \(d\)

\(\Phi\) : fonction de répartition de la loi normale centrée réduite

\(\mathcal{H}_0\) : hypothèse nulle

\(\mathcal{H}_1\) : hypothèse alternative

\(\mathbb{H}_0\) : indices des hypothèses dans l’ensemble des vraies hypothèses nulles

\(\indic\) : indicatrice de l’événement \(A\) définie par \(\indic_{A} = \begin{cases}1 & \text{si }A\\ 0 & \text{sinon}\end{cases}\)

\(\delta_{i,j}\) : symbole de Kronecker entre \(i\) et \(j\) défini par \(\delta_{i,j} = \indic_{i=j}\)

\((x_{(1)}, \ldots, x_{(n)})\) : réordonnement du vecteur \(x\) défini par \(x_{(1)} = \min_i x_i\) et \(x_{(p)} = \min_{y \in \{x_1, \ldots, x_n\} \setminus \{x_{(1)}, \ldots, x_{(p - 1)}\}} y\) pour \(p \in [\![2,n]\!]\)